Het einde van de netwerkborrel?

H

Sommige maatregelen zijn effectiever dan andere bij het afremmen van het coronavirus

Om de verspreiding van COVID-19 zoveel mogelijk af te remmen, hebben we allemaal in korte tijd moeten leren leven met een combinatie van beperkende maatregelen: anderhalve meter afstand houden, zo min mogelijk reizen, en alleen in kleine groepjes bijeenkomen. Dat deze combinatie van maatregelen effectief is in het verminderen van het aantal COVID-19 gevallen, zien we in de cijfers die het RIVM dagelijks publiceert. En dat is dan ook de reden dat de maatregelen de komende tijd stapsgewijs minder strikt worden. Hoe dat precies moet, is een ingewikkelde vraag. Om de juiste keuzes te maken moeten we weten welke maatregel welk effect heeft, maar dat is heel lastig.

Het werkelijke effect in kaart brengen kan pas achteraf, en precies voorspellen is nagenoeg onmogelijk. Toch hoeven we ook niet blind te kiezen. We kunnen met wiskundig onderbouwde computersimulaties de effecten van de maatregelen wel visualiseren. Bijvoorbeeld, door gebruik te maken van een contactnetwerk als onderliggend model. Schematisch ziet zo’n netwerk er ongeveer zo uit:

Figuur 1: een schematische weergave van hoe het virus zich door een contactnetwerk verspreidt.

In het model heeft iedere persoon heeft een vaste positie, en staat in contact met een aantal willekeurig gekozen andere personen. Het netwerk is zo ontworpen dat het de statistische eigenschappen een echt menselijk contactnetwerk goed nabootst. Nu is de verspreiding van een ziekte door het netwerk vrij eenvoudig te simuleren. Voor zulke simulaties gebruiken we natuurlijk veel grotere netwerken dat wat hierboven staat, bijvoorbeeld 160.000 personen. Zo’n simulatie ziet er dan bijvoorbeeld zo uit:

We zien hier vier simulaties op hetzelfde netwerk. We visualiseren de snelheid waarmee de ziekte zich verspreidt. Elke persoon wordt gerepresenteerd door één enkele pixel, waarvan de kleur aangeeft wanneer deze geïnfecteerd is geraakt (rood is vroeg, blauw is laat). Linksboven zien we een ongeremde pandemie. De uitbraak begint in het midden , verspreidt zich snel en chaotisch door het hele netwerk, en bereikt de hoeken het laatst. Rechtsboven zien we het effect van social distancing, linksonder van reisbeperkingen, en rechtsonder van het beperken van het maximale aantal contacten. Bij alle drie de interventies is het gemiddelde aantal contactmomenten per persoon nagenoeg constant. Toch zijn er duidelijk zichtbare verschillen in hun effectiviteit. Om deze plaatjes goed te duiden is begrip van wat model doet van groot belang. (Hieronder geven we daarover meer uitleg.)

Let op: deze simulaties voorspellen niets. De toekomst van een pandemie is net zo moeilijk te voorspellen als het weer. Maar net zoals meteorologen eenvoudige modellen gebruiken om het effect van een hogedrukgebied te begrijpen, hebben eenvoudige epidemiologische modellen ook nut: Simulaties kunnen we, in tegenstelling tot de werkelijkheid, heel vaak herhalen. Zo kunnen we snel en zonder risico allerlei scenario’s uitproberen. We herkennen dan patronen en onverwachte neveneffecten. Het geeft vooraf meer kennis van wat er allemaal kan gebeuren. Dat helpt ons om de werkelijke situatie sneller te duiden, waardoor we sneller en verstandiger kunnen reageren. Dat is de toegevoegde waarde van simulaties.

Een epidemie visualiseren

Epidemiologische modellen worden al eeuwen gebruikt om te berekenen hoe een epidemie zich verspreidt, en wat de mogelijke effecten zijn van interventies [1]. De modellen die gebruikt worden hebben vaak een numerieke uitkomst. Bijvoorbeeld: een model dat voorspelt dat er de komende week met 95% kans minstens 47 IC-bedden vrijkomen. Maar er bestaan ook modellen die dieper inzicht geven in het verspreidingsproces. Met behulp van zo’n model proberen wij hier het effect van interventies te laten zien. 

Merk op: epidemiologische modellen geven een inzicht in wat er kan gebeuren, niet wat er gaat gebeuren. Ze zijn a priori kwalitatief, niet kwantitatief. Kwantitatieve voorspellingen zijn buitengewoon lastig. Dat blijkt ook wel uit de ver uiteenlopende voorspellingen die recent gemaakt zijn door de beste teams van overheden: in maart voorspelde het team van de VS in totaal 200.000 doden, terwijl het Britse team tegelijkertijd voor de VS er 2.000.000 voorspelde [2]. 

Het model dat we hier gebruiken is heel simpel, en dus bij voorbaat niet kwantitatief. Iedere persoon heeft een vaste positie, en staat in contact met een aantal willekeurig gekozen andere personen. Zo vormen ze dus een netwerk.

Het netwerk dat wij simuleren (een GIRG-netwerk) heeft soortgelijke eigenschappen als een menselijk contactnetwerk (zie bijvoorbeeld [3]). We simuleren een netwerk met 160.000 personen. De gesimuleerde ziekte verspreidt zich daarna met willekeur door het netwerk, net als echte infectieziektes. We visualiseren de epidemie door elke persoon, overeenkomstig met diens locatie, een eigen pixel te geven. Ieder pixel krijgt een kleur die overeenkomt met het moment waarop de persoon geïnfecteerd raakte. Rood is vroeg, blauw is laat. Alle 160.000 pixels samen vormen dan een plaatje van 400 bij 400 pixels. Een simulatie van de ongeremde epidemie ziet er dan zo uit:

De epidemie verspreidt zich op een chaotische manier snel vanuit het midden (waar de eerste besmetting is) naar de randen van de groep. Uiteindelijk wordt bij deze simulatie iedereen besmet; we beschouwen in deze simulatie alleen de snelheid van de verspreiding. Een plaatje met veel rood en geel heeft een snelle, scherpe infectiepiek, en plaatje met veel groen en blauw juist een vlakke piek [4]

Dit is het basismodel, waarop we nu de verschillende maatregelen gaan simuleren. Onderaan het artikel leggen we meer in detail uit hoe het model en de simulaties werken. 

De anderhalve-meterregel

Dat afstand houden goed werkt, weten we al heel lang: in het Oude Testament (±500 vC) wordt het al uitgelegd (Leviticus 13:46). Tijdens de Spaanse Griep-pandemie werd de anderhalve-meterregel ook geïmplementeerd, met overtuigend effect [5]. Het was en blijft een centrale maatregel, ook nu we de samenleving langzaam weer op gang laten komen: de “anderhalve-metereconomie”.

De anderhalve-meterregel heeft, net als andere social-distancing en hygiëne maatregelen, het effect dat het steeds de kans op overdracht verkleint. Als we dit modelleren door in het netwerk een groot aantal willekeurig gekozen connecties uit te schakelen, dan ziet een simulatie van de epidemie er in het anderhalve-metermodel zo uit:

A picture containing blue, monitor, sitting, computer

Description automatically generated

Een sterke afname van de verspreidingssnelheid, precies zoals verwacht. Maar hoe verhoudt het zich tot de andere regels?

Minder ver reizen

Als we naar de onderliggende wiskunde kijken, zien we dat de anderhalve-meterregel eigenlijk een bot instrument is: het verlaagt het gemiddelde aantal contacten per persoon, maar alle andere eigenschappen van het netwerk blijven hetzelfde. 

Uit wiskundig onderzoek weten we echter dat de structuur van het netwerk veel meer invloed heeft op de verspreidingssnelheid dan het gemiddelde aantal connecties. We weten dat echte contactnetwerken zowel lokale als verre contacten bevatten. De anderhalve-meterregel behandelt die hetzelfde. De maatregel om veel thuis te blijven, en zo min mogelijk te reizen, doet dat niet. We modelleren deze maatregel, door juist de lange-afstandsconnecties te verwijderen. Ook dat verlaagt het gemiddelde aantal contacten per persoon, maar op een gerichte manier. Als we op dat afstandsbeperkte netwerk opnieuw de epidemie simuleren, zien we dan ook een heel ander beeld:

A picture containing animal, star

Description automatically generated

De epidemie verspreidt lokaal iets sneller dan bij de anderhalve-meterregel, maar gemiddeld verspreidt het zich twee keer zo langzaam. En toch is in deze simulatie het aantal contacten per persoon gemiddeld hetzelfde als voor het anderhalve-metermodel. De vertraging komt doordat de ziekte meer besmettingen kan veroorzaken als er nog maar weinig besmettingen in de buurt zijn. Bij besmettingen over grote afstanden is de kans veel groter dat de ziekte een onbesmet gebied vindt, dan in een gebied waar een groot deel van de populatie de infectie toch al had.

Het maximale aantal contacten beperken

Naast dit geografische effect, is er nog een andere belangrijke eigenschap van echte contactnetwerken die de anderhalve-meterregel niet benut: het size-biasing effect.

In Nederland wonen 17 miljoen mensen in 8 miljoen huishoudens samen. Gemiddeld bevat een Nederlands huishouden dus 2,1 personen. Maar toch leeft de gemiddelde Nederlander in een huishouden met 3,2 personen [6]. Hoe zit dat? Dit wordt het size-biasing effect genoemd: in grote huishoudens wonen meer mensen. Dus als je van een willekeurige persoon het huishouden bekijkt, is dat typisch groter, dan als je een willekeurig huishouden bekijkt. Datzelfde effect doet zich overal voor: de gemiddelde basisschool heeft 250 leerlingen, maar de gemiddelde basisscholier gaat naar een school met 500 leerlingen [7].

In contactnetwerken zien we het size-biasing effect ook: het gemiddelde aantal contacten dat iemand heeft, ligt een heel stuk lager dan het gemiddelde aantal contacten dat hun contacten hebben. Dat de meeste mensen denken dat hun vrienden meer vrienden hebben dan zijzelf, is dus geen psychologisch fenomeen, maar een wiskundig feit. En omdat infectieziekten zich via ketens van contacten verspreiden, is size-biasing een belangrijk effect om rekening mee te houden. 

Een maatregel die niet het gemiddelde aantal connecties beperkt, maar het size-biased gemiddelde, zou dus veel effectiever moeten zijn. Een beperking op het maximale aantal contacten is daarvoor een uitstekend middel. Alleen zij die heel veel contacten hebben, de “netwerkers” en “socializers”, worden hier direct door geraakt. 

En in simulaties is het inderdaad een heel effectieve interventie. Als we in onze simulatie het aantal connecties tot een maximum beperken, zodanig dat alleen de 7% best verbonden personen actief in hun contacten beperkt worden, zien we dit:

A star in the background

Description automatically generated

De infectie verspreidt zich nu bijna drie keer zo langzaam vergeleken met de simulatie van het anderhalve-metermodel. Hoewel het effect van deze interventie op het gemiddelde aantal connecties in het netwerk precies hetzelfde is als in het anderhalve-metermodel, verliest bijna 60% van de individuen in deze simulatie niet één contact. Van de meeste individuen wordt dus geen of bijna geen aanpassing gevraagd. 

De kleine-gemeenschapssamenleving?

Nogmaals, onze simulaties zijn niet kwantitatief en dus niet bedoeld om op een directe manier de effectiviteit van verschillende maatregelen mee te voorspellen of te vergelijken. De werkelijkheid is veel ingewikkelder dan het model. Maar het laat wel zien dat minder reizen en een maximum aan het aantal contacten, bij een vergelijkbare gemiddelde impact, mogelijk heel effectief zijn. En ze remmen de geografische verspreiding van de epidemie sterker af dan wanneer we alleen de anderhalve-meterregel zouden toepassen. Dat inzicht kan bij het onderzoeken van nieuwe beleidsmaatregelen van toegevoegde waarde zijn. 

A picture containing monitor

Description automatically generated
A close up of a logo

Description automatically generated
Iets meer over epidemiologische modellen
De werkelijkheid in detail modelleren is heel ingewikkeld. Het is vaak ook niet nodig. Daarom maken we in een wiskundig model vaak vereenvoudigende aannames. Een populatiemodel, bijvoorbeeld, maakt vaak de vereenvoudigingen dat er geen losse individuen zijn; dat toeval niet bestaat; en dat iedereen altijd met elkaar verbonden is. Dat klinkt zweverig, maar het zijn ook de standaard aannames van de epidemiologische modellen die overal ter wereld gebruikt worden om de COVID-19 pandemie te begrijpen en te voorspellen. En die vereenvoudigingen werken best goed: je kan ze makkelijk aan statistische data koppelen, en met de computer eenvoudig oplossen. Het nadeel ervan is dat ze de werkelijkheid wel erg sterk vereenvoudigen, waardoor we mogelijk allerlei complexe effecten over het hoofd zien.

Dat de standaardmodellen die beperking hebben, is absoluut geen nieuw inzicht. Door wetenschappers wordt al decennialang gewerkt aan allerlei minder reductieve methodes, zoals “agent-based” modellen, waarbij individuen wel als losse entiteiten in een twee- of driedimensionale ruimte gemodelleerd worden. Lange tijd waren realistische varianten van agent-based modellen echter te ingewikkeld om met een computer op te lossen. Nu, in 2020, zijn we op het punt aangekomen waar dit soort modellen ons kunnen helpen om epidemieën wel kwalitatief, maar nog niet kwantitatief, te begrijpen. Dat betekent, dat ze ons wel kunnen vertellen welke soort impact een aanpak mogelijk heeft, maar nog niet hoeveel.

Dat klinkt als een ernstige beperking, maar eigenlijk geldt voor alle modellen hetzelfde: kwantitatieve voorspellingen zijn altijd lastig. En discussies over de juistheid van epidemiologische modellen zijn ook niets nieuws: al in 1760 was er verhitte discussie tussen Daniël Bernoulli en Jean d’Alembert, twee belangrijke wiskundigen uit de 18e eeuw, over het wiskundig modelleren van interventies voor de pokkenepidemie [8].

Het model dat wij gebruikt hebben voor de kwalitatieve voorspellingen, vereenvoudigt de samenleving tot een netwerk: iedere persoon is een punt, en ieder contact is een verbinding. De ziekte kan zich alleen via de verbindingen verspreiden.

We gebruiken het discrete SI-model voor de ziekte (zie bijv. [9]), en een Spatial Clustered Scale-free (SCS) voor het netwerk [3, 9]. Het SI-model is een eenvoudig infectiemodel. Iedereen is gezond (Susceptible) of besmettelijk (Infected), en wie besmettelijk is kan zijn gezonde contacten besmetten. Wie eenmaal besmet is, blijft besmet. Voor COVID-19 niet realistisch dus. Maar uit heel veel onderzoek is gebleken dat, in de context van het beperken van verspreiding, realistischere modellen vaak kwalitatief precies hetzelfde gedrag vertonen als het SI-model. Meer detail is dus niet nodig.

Het SCS-netwerk is zo ontworpen, dat het statistisch gezien zoveel mogelijk lijkt op echte menselijke contactnetwerken, maar toch makkelijk is voor een computer om te simuleren. Net als in echte contactnetwerken verschilt in SCS-netwerken het aantal contacten enorm van persoon tot persoon, en is het ruwweg zo dat iedereen meer contacten dichtbij heeft dan ver weg. SCS-netwerken zijn een veelbelovende nieuwkomer in de wetenschap, en een grote stap vooruit voor agent-based modellen, die voorheen vaak op vierkante roosters gesimuleerd werden, of op oneindigdimensionale netwerken. Dat wil niet zeggen dat het model perfect aansluit op de realiteit, want die is veel te complex om in een paar regels wiskunde te vangen.

Bronnen

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_modelling_of_infectious_disease

[2] https://fivethirtyeight.com/features/best-case-and-worst-case-coronavirus-forecasts-are-very-far-apart/

[3] Bringmann et al., Geometric inhomogeneous random graphs, Theoretical Computer Science, 2019, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397518305309

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Flatten_the_curve

[5] https://www.theguardian.com/commentisfree/2020/apr/29/us-responses-1918-flu-pandemic-offer-stark-lessons-coronavirus-now

[6] https://www.cbs.nl/nl-nl/cijfers/detail/82905ned

[7] https://opendata.cbs.nl/#/CBS/nl/dataset/03753/table?ts=1588244175927

[8] Colombo and Diamanti, The smallpox vaccine: the dispute between Bernoulli and d’Alembert and the calculus of probabilities, Lettera Matematica, 2015, https://link.springer.com/article/10.1007/s40329-015-0073-5

[9] Komjáthy and Lodewijks, Explosion in weighted hyperbolic random graphs and geometric inhomogeneous random graphs,Stochastic Processes and their Applications, 2020, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304414918301601

BureauWO

Contact

info@bureauwo.com

kvk: 771 523 28